Géométrie Birationnelle Équivariante Des Grassmanniennes

Soit K un corps infini et A une K-algèbre de dimension finie n. Soit 0 < r < n un entier. Le résultat principal de cet article est le suivant. Sous certaines hypothèses sur A (satisfaites si A est étale), la grassmannienne G(r, A) est K-birationnelle, de manière PGL1(A)-équivariante, au produit de G(pgcd(r, n), A) par un espace affine (théorème 3.3). On en déduit par torsion plusieurs résultats nouveaux sur les variétés de Severi-Brauer généralisées, liés à la conjecture d’Amitsur. Les plus significatifs sont les suivants. i) Si A est une K-algèbre simple centrale de degré n, et si 0 < r < n est un entier, la r-ième variété de Severi-Brauer généralisée SB(r, A) est K-birationnelle au produit de SB(pgcd(r, n), A) par un K-espace affine de dimension convenable. ii) Si A et B sont deux K-algèbres simples centrales de degrés premiers entre eux, SB(A⊗K B) est birationnelle au produit de SB(A) ×K SB(B) par un K-espace affine de dimension convenable. Mots-clés. Géométrie birationnelle, grassmanniennes, variétés de Severi-Brauer, conjecture d’Amitsur. 1 ha l-0 04 49 46 2, v er si on 1 25 J an 2 01 0